EL PENTALFA PITAGORICO Y LA

ESTRELLA FLAMIGERA*

Arturo Reghini

 
"Que nadie entre aquí si no es geómetra" Inscripcin grabada en el frontn de la escuela de Platn.

 

Hemos llegado al número cinco partiendo del tetracordio de Filolao, o del triángulo egipcio. Otro método, bastante próximo al primero, ha llevado a los pitagóricos a la evaluación del número cinco a partir de la sección áurea, o sección divina, de un segmento de recta, así como al estudio del pentalfa o pentagrama, símbolo característico de la cofradía pitagórica, o de la estrella flamígera, símbolo característico de la fraternidad masónica.

El estudio riguroso de este tema, desde el punto de vista geométrico y aritmético, exigiría un largo desarrollo que hemos hecho ya en una de nuestras obras anteriores1. Es por esto, que no repetiremos aquí la demostración por la que se llega a los resultados y a la propiedad que utilizaremos pitagóricamente, es decir sin ayuda del postulado de Euclides, y que enviamos al lector a dicha obra.

Uno de los descubrimientos más importantes de los pitagóricos es el de las magnitudes inconmensurables, y por consiguiente de los números irracionales. El caso más sencillo es el de la inconmensurabilidad de la diagonal y del lado de un cuadrado, del cual Aristóteles ha referido la demostración que  los pitagóricos daban al respecto. Es una consecuencia del teorema de Pitágoras. En efecto si, ab absurdo, la diagonal y el lado de un cuadrado admitieran una medida común, por ejemplo si la diagonal contuviera m veces un cierto segmento y el lado lo contuviera n veces, el cuadrado construido sobre el lado podría dividirse en n2 cuadrados iguales que tendrían  por lado este segmento común, y el cuadrado construido sobre la diagonal podría dividirse en m cuadrados iguales entre ellos. Ahora bien, según el teorema de Pitágoras, siendo la suma, de los cuadrados construidos sobre los lados, equivalente al cuadrado construido sobre la hipotenusa, tendría que cumplirse que el número de cuadrados 2n2 contenidos en los cuadrados de los lados fuera igual al número de los cuadrados m2 de la hipotenusa, es decir debiera ser 2n2 = m2. Ahora bien, por ser n y m números enteros, los dos miembros de la igualdad anterior deberían tener los mismos factores primeros, ya que un número puede descomponerse solamente de una única manera en un producto de factores primeros; lo cual es aquí imposible ya que m debería tener como factor dos, y por lo tanto m2 tendría que tener dos un número par de veces; n debería tener pues también dos, n2 lo tendría un número par de veces y 2n2 lo tendría un número impar de veces.

En particular si el lado del cuadrado es uno, el cuadrado de la diagonal es dos y su diagonal es igual al número irracional . Ahora bien, dividiendo la circunferencia en cuatro partes iguales y uniendo en orden los cuatro puntos que la dividen, se obtiene el cuadrado inscrito; se puede decir también que el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia de radio unitario tiene por medida el número irracional . Este segmento inconmensurable con el segmento de la unidad se determina geométricamente de una forma muy sencilla. Así, considerando el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el doble del lado más pequeño, se hallaría que el lado más grande tiene por medida el número irracional , y, considerando el triángulo rectángulo que tiene un lado doble que el otro, se hallaría que su hipotenusa tiene por medida . Y, como es fácil demostrar que el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual al radio de la circunferencia, se deduce de aquí que el lado del triángulo equilátero inscrito es igual al segmento que tiene por medida . Los dos números irracionales  son respectivamente la medida del lado del cuadrado y del lado del triángulo equilátero inscritos en la circunferencia que tiene por radio la unidad, y son dos segmentos inconmensurables con el segmento de la unidad cuya determinación es fácil geométricamente.

El número  está, al contrario, relacionado, aunque de una forma menos sencilla, con la división de la circunferencia en diez y cinco partes iguales, y con la medida del lado del pentágono inscrito y del lado del decágono regular inscrito. Se llama sección áurea de un segmento, o "sección divina", a aquella parte del segmento tal que el cuadrado que tiene por lado este segmento equivale al rectángulo que tiene por lados el segmento entero y la parte restante. La determinación geométrica de la sección áurea de un segmento puede obtenerse mediante dos construcciones; y con la teoría de las proporciones, la sección áurea de un segmento puede definirse también como la media geométrica o proporcional entre el segmento entero y la parte restante. Se puede demostrar entonces que en el triángulo isósceles, cuyo ángulo del vértice superior es igual a la mitad del ángulo del vértice de la base, la base es la sección áurea del lado; y, como el ángulo del vértice superior es de 36º, de aquí se deduce que, dividida la circunferencia en diez partes iguales, el lado del decágono regular inscrito es la sección áurea del radio; vice versa, el arco que tiene por cuerda la sección áurea del radio tiene 36º y es la décima parte de toda la circunferencia. De aquí la posibilidad de determinar la sección áurea del radio OA de una circunferencia y la división de la circunferencia en diez partes iguales.

Levantando (Figura 1) del centro O el radio OB perpendicular al radio OA y tomando el punto medio C del radio OB, se traza el círculo de centro C y de radio CO; la recta AC corta a esta circunferencia en dos puntos D y E, y el radio OA es media proporcional entre la secante AE y su parte externa AD.  Dividiendo esta proporción se deduce que la parte externa AD = AM es la sección áurea del radio AO. Por la unicidad de la sección áurea el triángulo isósceles de radio OA y de base AD = AM tiene por vértice un ángulo de 36º, así pues AM es el lado del decágono regular inscrito; es por lo que, tomando el segmento AM como cuerda y transportándolo diez veces a partir del punto A, se divide la circunferencia en diez partes iguales; y por consiguiente en cinco tomando alternativamente los puntos de división2.

 

Figura 1
Si el radio OA es igual a uno, el radio OC es 1:2, la hipotenusa AC del triángulo rectángulo AOC es dividido por 2, y la sección áurea AD mide dividido por 2. Así pues, el lado del decágono regular, inscrito en la circunferencia de radio uno, es la sección áurea del radio y mide  dividido por 2.

Si en lugar de unir el punto A de la división de la circunferencia en cinco partes iguales con el punto siguiente C, se une el punto A con el tercer punto de la división E, y éste con el quinto punto I y así sucesivamente, se obtiene el pentagrama llamado estrella, porque está compuesto de cinco líneas, llamado también pentalfa, porque contiene cinco veces la letra A, formada por ejemplo por dos cuerdas AE y AG y por el segmento MR de la cuerda CI. La palabra pentalfa se encuentra en la arithmetica del padre Kircher (1665), pero la palabra decalfa, evidentemente formada a imagen de la primera, se encuentra ya en Plutarco. De cualquier manera esto no es lo que nos interesa.
 

Figura 2

Y como manifiestamente IC es paralela a GE, y GA es paralela a CE, el cuadrilátero CEGR es un paralelogramo, y más exactamente un rombo, ya que EC y EG son iguales como lados del pentágono regular inscrito; se reconoce fácilmente que el triángulo isósceles AEG tiene su vértice superior formando un ángulo de 36º, y por lo tanto que EG = EC = EM es la sección áurea del lado AE del pentalfa. Llamaremos l5 al lado EG del pentágono regular y s5 al lado AE del pentalfa; y podemos decir que: 1º) el lado l5 del pentágono es la sección áurea del lado s5 del pentalfa; 2º) que el lado s5 = AE del pentalfa está dividido en dos puntos M y N por otros dos lados del pentalfa de tal manera que AN = EM es la sección áurea de todo el lado s5.

Y como el triángulo isósceles CEM tiene un vértice cuyo ángulo es 36º, la base CM es la sección áurea del lado EC, como los cinco puntos del pentagrama estrellado son manifiestamente iguales se deduce de esto que, AM = EN es la sección áurea de EM = AN. Por lo tanto, determinada la sección áurea en un segmento, la parte restante es la sección áurea de la sección áurea de dicho segmento etc. , es decir AE : AN = AN : EN = EN : NP...

Los lados del pentalfa determinan un pentágono regular MNPQR de lado MN= l5 cuyos vértices son también los vértices de otro pentalfa cuyo lado s5 es igual a AM, y se tiene la proporción 

s5 : l5 = s5 : l5

en la que cada término es la parte áurea del anterior.

Es decir que se tiene:

s5 : l5 = l5 : s5 = s5 : l5

El segundo pentalfa determina  a su vez un tercer pentágono inscrito de lado l5 y un tercer pentalfa inscrito de lado s5 etc. , y se tiene la cadena de relaciones iguales 

s5 : l5 = s5 : l5 = s5 : l5...

en la cual cada término es la sección áurea del anterior.

Señalemos de paso que, si se considera los arcos sucesivos iguales respectivamente a una décima, dos décimas, tres décimas y cuatro décimas partes de la circunferencia, y cuya suma es igual a la circunferencia entera, sus cuerdas  AB, BD, DG, GA forman un cuadrilátero cuyos lados son respectivamente el lado l10 del decágono inscrito, el lado s10 del decalfa inscrito y el lado s5 del pentalfa inscrito y cuya diagonal BG es un diámetro y divide al cuadrilátero en dos triángulos rectángulos, y se tiene así:

l25 + l2 10 + s2 5 + s2 10 = 8 r2 

estos cuatro lados forman una tétractys cuya suma es igual al doble del cuadrado del diámetro.

Observemos ahora que si señalamos cuatro segmentos, a, b, c y d, tales que cada uno sea la sección áurea del precedente, se tiene:

a = b + c              y               b = c + d
a + d = b + c + b - c = 2b

Es por esto que el segundo término de la sucesión de los cuatro segmentos es la media aritmética de los extremos.

Se tiene, por la definición de la sección áurea,

b2 =  a c      c2 =  b d

así pues  b2  c2 = a b c d  y por fin  b c = a d , y los cuatro segmentos forman una proporción. 

Por otra parte, señalando por M la media armónica de los extremos a, d, se tiene: 

a d = a + d  M
2 
así pues 
b c = b M

y  c = M; el tercer término de la sucesión es la media armónica de los extremos.

Podemos pues enunciar la propiedad: Si cuatro segmentos son segmentos sucesivos de una sucesión tal que cada segmento es la sección áurea del anterior, forman una proporción, el segundo segmento es la media aritmética de los extremos y el tercero es la media armónica de los extremos.

Esta proporción entre cuatro segmentos es también un caso particular de la proporción babilónica, como lo era la proporción formada por las cuatro cuerdas del tetracordio de Filolao. En las dos tétradas igualmente el segundo término es la media aritmética de los extremos y el tercero la media armónica. En el caso del tetracordio de Filolao, la ley de determinación daba que el primer término fuera el doble del cuarto; en este caso la ley de formación es que cada término es la sección áurea del anterior.

En conclusión: el lado s5 del pentalfa pitagórico está dividido por los otros dos lados de este pentalfa en dos puntos intermedios M y N tales que AE : AN = AM : MN que son respectivamente iguales a:

s5, l5, s5, l5 es decir a: s5, s5 ( dividido por 2) , s5 (3 -  dividido por 2), s5 ( 2)

En esta proporción cada segmento es la sección áurea del anterior, como en la proporción de las cuatro cuerdas del tetracordio el segundo segmento es la media aritmética de los extremos y el tercero la media armónica de los extremos. Además, así como la gama pitagórica se obtiene con la ley de quinta del tetracordio de Filolao, así cada término de la cadena de relaciones iguales se obtiene tomando la sección áurea del término anterior, o dividiendo la circunferencia en diez y en cinco partes iguales.

Con la ley de quinta se prolonga indefinidamente el tetracordio y la octava en las octavas sucesivas, y se prolonga la cadena de relaciones iguales entre el lado del pentalfa y el del pentágono respectivo, y el lado del pentalfa y del pentágono consecutivos. En suma, el pentalfa implica en la división natural de sus lados una ley de armonía pues, a semejanza de la cuerda de sol que es la media armónica de la cuerda fundamental y de su armónica, de igual manera el lado del pentágono es la media armónica entre el lado entero del pentalfa y la parte comprendida entre sus otros dos lados.

Por otra parte, el último de los cinco poliedros regulares pitagóricos y platónicos, el dodecaedro regular, tiene doce caras que son pentágonos regulares; y, designando por a la apotema de este poliedro y por 2 a la altura del dodecaedro o la distancia entre dos caras paralelas, se puede demostrar que los planos paralelos a las dos bases paralelas, intermediarios entre ellas y que pasen respectivamente por los cinco vértices del dodecaedro próximos a esta base, dividen la altura 2 a del dodecaedro en dos puntos M y N tales que, señalando por AB la altura,

 
 
el segmento AN = BM es la sección áurea de AB, el segmento AM =BN es la sección áurea de AN y el segmento intermedio MN es la sección áurea del segmento AM. Estos cuatro segmentos forman una tetractys análoga a la que forman los cuatro segmentos del lado del pentalfa inscrito en la cara pentagonal del dodecaedro. Por utilizar un término de la magia se puede decir que tanto el dodecaedro como su cara llevan la signatura de una misma armonía; la armonía del pentalfa coincide con la del dodecaedro.

Por otra parte, se puede demostrar que la sección áurea de la altura 2a es igual al lado s10 del decalfa inscrito en la cara pentagonal del dodecaedro (decalfa que se obtiene uniendo de cuatro en cuatro los diez puntos de la división de la circunferencia), se puede demostrar que el radio de la circunferencia circunscrita es la sección áurea del  lado s10 del decalfa inscrito, y por fin sabemos que el lado l10 del decágono inscrito es la sección áurea del radio r. Así la tetractys de los cuatro segmentos señalados sobre la altura del dodecaedro está constituida por cuatro segmentos: 2 a, s10, r, l10 que constituyen la proporción geométrica

2 a : s10 = r : l10

en la que cada término es la sección áurea del anterior; así pues el segundo término es la media aritmética de los extremos mientras que el tercero, o el radio r, es la media armónica. El dodecaedro goza pues de la siguiente propiedad: El radio de la circunferencia circunscrita a la cara del dodecaedro es la media armónica entre la altura del dodecaedro y el lado del decágono regular inscrito en dicha cara.

Esta tercera proporción babilónica entre la tetractys de los cuatro elementos del dodecaedro, mencionados aquí arriba, está igualmente relacionada con el número cinco de los lados de la cara pentagonal y con el número 12 de las caras del poliedro; como en el caso del tetracordio, la proporción babilónica estaba relacionada con la ley de quinta, con las cinco teclas negras del piano y con las doce teclas blancas y negras de la octava. Si llevamos los doce planos paralelos a las doce caras del dodecaedro a los cinco vértices vecinos, estos planos determinan en el interior del dodecaedro otro dodecaedro regular dotado de las mismas propiedades, y así, sin interrupción, indefinidamente.

Ahora bien, en el pitagorismo las siete ciencias liberales estaban estrechamente ligadas entre sí y con las diferentes artes, es pues previsible que en las diferentes artes se hallará la huella de la importancia que los pitagóricos concedían a la sección áurea y a la media armónica. En efecto, el canon de la estatuaria de Polícleto se relaciona con la media armónica3, mientras que la sección áurea tiene gran importancia en la arquitectura anterior al siglo de Pericles4.

Mattila C. Ghyka llama a la sección áurea el "Número de Oro"; y éste es, por otra parte, el título de su principal obra sobre el estudio de la arquitectura sagrada de todos los tiempos. La música, la escultura y la arquitectura, todas las artes, se ajustan a la ley de la armonía universal basada en la propiedad de los números sagrados.

Para comprender a fondo la importancia y el significado que debían tener a los ojos de los pitagóricos lo que hemos hallado a propósito del dodecaedro, hay que recordar que para ellos y para Platón el dodecaedro era el símbolo del universo, y que los cinco poliedros regulares, las figuras cósmicas, eran el símbolo de los cuatro elementos y del universo, como podemos aprenderlo leyendo el Timeo de Platón, el diálogo pitagórico por excelencia.

El tetraedro regular, con sus cuatro caras triangulares, sus cuatro vértices y sus seis aristas, simbolizaba el fuego; y puede que esta correspondencia sea debida a la forma del sólido cuyo vértice recuerda el extremo de la llama que se eleva por encima de su base, y se haya apoyado en la etimología errónea de la palabra pirámide, que viene de pyr que significa "fuego", y que utilizaban los griegos para el tetraedro. Los tres diámetros de la circunferencia circunscrita dados por los vértices de cada cara la dividen en seis triángulos rectángulos iguales entre ellos, y, considerando los tetraedros que tienen por vértice común el centro del tetraedro regular y por base los 24 triángulos iguales que dividen la superficie, el tetraedro se compone de 24 tetraedros equivalentes. Análogamente, el octaedro de ocho caras, que son triángulos equiláteros, seis vértices y 12 aristas, cuya superficie está dividida en 48 triángulos rectángulos iguales, y el poliedro correspondiente que se compone de 48 tetraedros equivalentes. Análogamente, el icosaedro de veinte caras, que son triángulos equiláteros, doce vértices y treinta aristas, cuya superficie está dividida en 120 triángulos iguales, y el icosaedro que se compone de 120 tetraedros, de los que son las bases los 120 triángulos iguales de la superficie y que tienen como vértice común el centro del poliedro. Cada poliedro regular tiene un poliedro polar para el cual el número de caras y de vértices es intercambiable, mientras que el de aristas permanece invariable. El tetraedro es autopolar; el poliedro polar del octaedro es el cubo que tiene seis caras cuadradas, ocho vértices y doce aristas. Filolao veía en el cubo la imagen de la armonía porque el número de sus vértices es la media armónica del número de sus caras y de sus aristas, lo que se verifica también para el octaedro. Cada cara del cubo está dividida en cuatro triángulos rectángulos isósceles iguales, por los diámetros de la circunferencia circunscrita que pasan por los vértices; así pues la superficie del cubo está dividida en 24 triángulos rectángulos iguales, y el cubo o hexaedro se compone de 24 tetraedros equivalentes que tienen por vértice común el centro del cubo. Después de haber asimilado estos cuatro poliedros a los cuatro elementos, fuego, aire, agua y tierra, Platón no hace decir a Timeo sino esto: "Quedaba todavía una única y última combinación; Dios se ha servido de ella para el Todo, cuando trazó el orden final" [Traducción Rivaud, Les Belles Lettres, París 1956]. Señalemos que Platón y los pitagóricos sabían que no hay más que cinco poliedros regulares, lo que se demuestra muy fácilmente; señalemos también que las figuras cósmicas llevan al número cinco. En cuanto al silencio brusco e inesperado de Platón, que corta en seco su exposición, ha llamado la atención de Robin quien se limita también a decir: "Al respecto del quinto poliedro regular, el dodecaedro, [...] Platón es muy misterioso"5, sin buscar por otra parte las razones de ese repentino mutismo.

Ahora bien, el dodecaedro es el poliedro polar del icosaedro, tiene doce caras que son pentágonos regulares, veinte vértices y treinta aristas. Dividiéndolo por el procedimiento conocido, se halla que los diámetros de la circunferencia circunscrita que pasan por los vértices de una cara la dividen en diez triángulos rectángulos iguales, pero si se inscribe el pentalfa en la cara, el pentágono se halla dividido por los lados del pentalfa en treinta triángulos rectángulos que no son isósceles, ni incluso los magníficos triángulos rectángulos queridos por Timeo (aquellos cuya hipotenusa es el doble del lado más pequeño), y que no son ni todos iguales ni todos equivalentes. En cambio, la superficie del dodecaedro se divide en 360 triángulos y el dodecaedro correspondiente se descompone en 360 tetraedros cuyas bases son los 360 triángulos de su superficie y que tienen por vértice común el centro del poliedro. Ahora bien, 360 es el número de las divisiones de los doce signos del zodíaco, y el de los días del año egipcio.

Esto que acabamos de decir lo confirman plenamente dos historiadores antiguos. Alcinoo6, después de haber explicado la naturaleza de los cuatro primeros poliedros, dice que el quinto tiene doce caras, como el zodíaco tiene doce signos, y añade que cada cara está compuesta por cinco triángulos (con vértice común en el centro de la cara), de los cuales cada uno está compuesto por seis triángulos (determinados por un diámetro y dos lados del pentalfa). En total 360 triángulos. Plutarco, a su vez7, después de haber constatado que cada una de las doce caras pentagonales del dodecaedro se compone de treinta triángulos rectángulos escalenos, añade que esto demuestra que el dodecaedro representa tan bien el zodíaco como el año, puesto que se divide en el mismo número de partes que estos. Plutarco alude manifiestamente al año egipcio, compuesto de 12 meses cada uno de treinta días, para el que los cinco días epagomeni no forman parte.

Para comprender bien la importancia que tenían estas observaciones matemáticas para los pitagóricos y para Platón, hay que recordar: 1º) que para ellos el triángulo es el átomo superficial (o última parte indivisible, porque es el polígono que tiene el número de lados necesarios y suficientes para delimitar una porción del plano, y que por analogía el tetraedro, o pirámide, es el átomo sólido, porque es el poliedro que tiene el número de caras necesarias y suficientes para delimitar una porción de espacio); 2º) que por su misma definición, todo número poligonal es siempre una suma de números triangulares, y que por su misma definición, todo número piramidal es la suma de números tetraédricos. De manera que se llega a constatar que las cinco figuras cósmicas, y en particular el símbolo del universo, estaban compuestos por tetraedros; el universo entero se reducía a una suma de átomos tetraédricos.

Doce es el número de caras del dodecaedro y por consiguiente el de los vértices del poliedro polar o icosaedro. Doce es también el número de las aristas del cubo y del poliedro polar u octaedro. Si consideramos el número doce como constituido por doce vértices de un dodecaedro, y si desarrollamos este número dodecaédrico en uno de los ángulos sólidos, tomando aquí el   vértice como centro homotético, se obtienen, según el método habitual de los pitagóricos, los números dodecaédricos sucesivos. Las fórmulas de los números poliédricos regulares (a excepción del número tetraédrico) han sido determinadas por primera vez por Descartes, y se hallan en un manuscrito que permaneció inédito más de un siglo; en particular el ne número dodecaédrico viene dado por la fórmula,

Do (n) = n  (3n 1)  (3n 2)
            2

pero el ne número dodecaédrico puede obtenerse también mediante una relación entre el ne número pentagonal y su gnomon. En efecto, los gnomons pentagonales son los números de la serie aritmética 1, 4, 7, 10... de manera que se tiene:

gnomons pentagonales   1    4    7    10    13    16...    (3n 2)...

números pentagonales    1    5   12    22    35    51...  n   (3n - 1)...
                                                                                       2
y sucede que añadiendo a un número pentagonal su gnomon se obtiene el pentágono sucesivo, y multiplicando un número pentagonal por el gnomon anterior se obtiene el número dodecaédrico correspondiente; y la sucesión de los números dodecaédricos es:

1    20    84    220    816...;
la relación entre los números pentagonales y dodecaédricos se corresponde aritméticamente a la del número de lados de las caras del pentágono y de las caras del dodecaedro. En la extensión del tetracordio a la octava hemos visto aparecer también una conexión entre cinco y doce. Igualmente, el triángulo egipcio de hipotenusa 5 tiene el perímetro dado por 12. En cuanto al número 12 tiene ya tradicionalmente un carácter sagrado y universal. Además de ser el de los meses del año y de los signos del zodíaco, doce era en Grecia, en Etruria y en Roma el número de los Dioses admitidos, doce el de los miembros de ciertos colegios sacerdotales de la Roma arcaica, doce el número de las vírgenes del pabellón etrusco y romano; y numerosos dodecaedros celtas que nos han llegado atestiguan la importancia que los antiguos daban a este número y al dodecaedro. Hechos y razones que justifican la elección del dodecaedro como símbolo del universo.

El dodecaedro está inscrito en la esfera como el cosmos está rodeado de una banda, el periêkôn, en la cosmología pitagórica, y de la misma manera que el cosmos contiene y se compone de cuatro elementos, fuego, aire, tierra y agua, así los cuatro poliedros regulares que son sus símbolos pueden inscribirse en el dodecaedro. Se puede, en efecto, demostrar que es posible inscribir el hexaedro (o cubo) en la esfera y en el dodecaedro; se puede demostrar fácilmente que el icosaedro que tiene por vértices los centros de las doce caras del dodecaedro es un icosaedro regular inscrito; y análogamente, para el octaedro que tiene por vértices los centros de las seis caras de un cubo; y finalmente, que se obtiene un tetraedro regular a partir del cubo, tomando como vértices un vértice del cubo y los vértices del cubo que son sus opuestos en las tres caras que convergen en dicho vértice. La tétrada de los cuatro elementos está contenida en el cosmos y éste en el periêkôn, como los cuatro poliedros regulares están contenidos en el quinto y éste en la esfera circunscrita.

Detengámonos un instante y echemos una mirada al camino recorrido. Primero hemos llegado a la tetractys (1, 2, 3, 4), tetractys equivalente a la Década, y representada por el Delta del santuario de Delfos, ombligo del mundo7 bis. Esta tetractys contiene la de Filolao (1, 3:4, 2:3, 1:2), donde aparecen los mismos elementos que en la primera; por la extensión del tetracordio de Filolao, hemos hallado la ley de quinta y hemos llegado a los números 5, 7 y 12. La octava, o la armonía como decían los Griegos, está pues potencialmente contenida en la tetractys de Filolao, como lo está también en  la que está representada por el Delta. Además, hemos llegado al número cinco por el método geométrico de dos maneras: por el triángulo rectángulo egipcio que tiene 5 por hipotenusa, y por el triángulo rectángulo, de lados uno y dos, que tiene 5 como cuadrado de la hipotenusa8.

Este segundo método nos ha llevado a la consideración de la sección áurea, a la división de la circunferencia en diez y cinco partes iguales, al pentalfa, al dodecaedro y a la media armónica de los segmentos extremos de dos tetractys formadas con los elementos de estas dos figuras. Hemos visto que el catecismo de los Acusmáticos sitúa en el santuario de Delfos "la tetractys en  que está la armonía donde están las Sirenas". Para comprender el sentido de esta respuesta del catecismo pitagórico de los Acusmáticos, y por qué tenían tal interés al respecto, nos falta ver solamente lo que representaban las Sirenas ligadas a esta armonía. "Este simbolismo, observa Delatte, completamente extraño a la concepción ordinaria de las Sirenas, debe explicarse mediante su identificación con la armonía de las Esferas y el papel importante que se le reconocía a la música sagrada en la escuela pitagórica. Para Pitágoras, como más tarde para Platón, son las Sirenas las que personifican esta armonía". Imitando con la música sagrada la música celestial, los pitagóricos9 esperaban asimilar su alma a la sabiduría divina y, después de la muerte, reunirse con los bienaventurados10. Así, Plutarco ve en Ulises el filósofo que escucha esta armonía para iniciarse en la sabiduría. Platón11, tratando del mito de Hero, dice que la armonía de las esferas está producida por su movimiento de revolución. Según Jámblico12, la mayor revelación que Apolo-Pitágoras ha hecho al mundo es la de la armonía de las esferas y de la música sabia que se inspira en ellas. Jámblico sigue una antigua creencia pitagórica, según la cual Pitágoras, el maestro Pitias, era una encarnación de Apolo, a quien estaba consagrado el santuario de Delfos. "La tetractys, escribe Delatte13, parece deber la veneración de la que era objeto entre los pitagóricos a dos causas. Desde el punto de vista científico, explicaba las leyes de la música celestial y humana, y como la armonía era la gran ley del Universo14, pudo ser considerada como la fuente y la raíz de la naturaleza [como lo afirma el juramento por la tetractys]. Por otra parte, les permitía imitar la armonía de las esferas, mediante la música sabia, y acercarse así a la perfección divina. El papel catártico de la música hizo de la tetractys una doctrina particularmente preciosa por la contribución que aportaba al perfeccionamiento moral y religioso. Así se explica que la tetractys fuera una de las teorías fundamentales de la filosofía aritmológica y religiosa de los Pitagóricos".

El desarrollo aritmético-geométrico de los números sagrados va del Delta, o triángulo sagrado, al dodecaedro. Los Elementos de Euclides -en el texto original- comienzan, sin preámbulo, por el triángulo equilátero, y, según el testimonio de Proclo15, tenían por fin la construcción de las figuras platónicas (poliedros regulares). Quizás, de la época de Pitágoras a la de Euclides, el comienzo y el fin de la geometría permanecieron tradicionalmente inalterables, y la función de Euclides fue introducir su postulado expeditivo modificando las demostraciones y, por ejemplo en el teorema de Pitágoras, sustituyendo la suya por la de Pitágoras que era ciertamente diferente.

Según lo que queda de la geometría pitagórica, y la restitución que de ella hemos hecho hace unos años, era una geometría más general que la de Euclides y la de Arquímedes, en la medida en que no dependía ni del postulado de Euclides sobre las paralelas ni del postulado de Eudoxo-Arquímedes, aunque el punto de partida y el de llegada fueran probablemente los mismos. Para Euclides, el propósito era puramente geométrico, para Pitágoras, aunque utilizando una demostración puramente geométrica, el propósito no era ciertamente éste, ya que la característica de la filosofía pitagórica era no olvidar jamás la relación de las diferentes ciencias entre ellas y en particular de la geometría con la aritmética y de la música con la astronomía. Para Pitágoras y para Platón la geometría era una ciencia sagrada, esotérica y secreta, como para los franc-masones es el arte real de la construcción y la ciencia de los "números sagrados" que sólo ellos conocen. Cuando la geometría euclidiana, rompiendo todo contacto y llegando a ser un fin en sí misma, degeneró en una magnífica ciencia profana, la admirable síntesis de todas las ciencias y de todas las artes divinizada por el genio de Pitágoras desapareció, dejando el lugar a la especulación.

Hemos sacado a la luz ciertas trazas del vínculo profundo que unía la música a la cosmología y a la aritmética; pero pensamos que su escaso número y rareza deben ser atribuidos justamente a la importancia de la doctrina, que debía constituir una de las enseñanzas secretas de la escuela pitagórica. Un indicio al mismo tiempo que una explicación nos son dados por la repentina reserva de la que Timeo hace muestra, cuando aborda el dodecaedro, en el diálogo platónico al que ha dado su nombre. Hubiera sido impío revelar este secreto. Y la leyenda pitagórica quería que tal impiedad fuera vengada por el daimonion, como en el caso del pitagórico Hípaso quien, según la leyenda, murió en un naufragio por haber hecho público la inscripción del dodecaedro en la esfera. Platón había dicho bastante al respecto: si hubiera dicho más hubiera sido, si no imprudente, al menos escandaloso, y Platón recuerda mê einai pròs pántas pánta rêta.

En cuanto al número siete no hemos podido llegar a él más que por la extensión del tetracordio a la gama y a la consideración de los números piramidales de base decagonal. No existe un triángulo rectángulo que tenga siete por hipotenusa ni que tenga siete como cuadrado de la hipotenusa, y lo mismo ocurre con el número once.

Siete es el único número de la década que no tiene madre y es virgen, amétôr y parthénos; es por lo que fue comparado y consagrado a Minerva, hija de Júpiter pero no de Juno, ya que salió completamente armada del cerebro de Júpiter. Palas Atenea y el número siete, tienen ambos la prerrogativa de la virginidad y de la inmaculada concepción.

Si pensamos que Minerva era la diosa de la Sabiduría, el sentido de este símbolo se perfila claramente: la sabiduría divina no pertenece al mundo de la generación; es transcendente, olímpica, inconcebible humanamente. Añadamos que la tradición mágica vincula a menudo el don de la videncia y de la profecía a la virginidad; la lengua griega, como la lengua italiana, designa con la misma palabra kórê a la virgen y a la pupila del ojo; y Cagliostro que utilizaba las "pupilas" como clarividentes las llamaba así por esta razón, y "palomas" por su candor.

También Clemente de Alejandría16 señala que el número siete es virgen y sin madre, y el escritor Aristóbulo identificaba el septenario con la luz espiritual. Delatte hace observar que esta teoría no es, como podría creerse, una innovación hebrea, puesto que figura ya en Filolao, como testimonia un pasaje de los Théologumena; había sido retomada en el himno al número (pitagórico-órfico) según Aristóbulo, quien no había hecho, según su costumbre, más que adaptar este concepto a las necesidades de la apologética hebrea. Por lo demás, siete era el número de los legendarios Sabios de la Grecia pre-pitagórica; y siete el número de las ciencias pitagóricas, de las artes liberales, repartidas, quizás por Boecio, en las ciencias del trivium y del cuadrivium.

El catolicismo, en contra de las otras sectas cristianas derivadas del hebraísmo, ha añadido recientemente el dogma de la inmaculada concepción al de la virginidad de María: y les ha dado tanta importancia que para sostenerlos no ha dudado en afrontar las dificultades inherentes a los pasajes en los que el Evangelio habla de los hermanos y de las hermanas de Jesús; dificultad que ha sido superada declarando que, en el Evangelio, la palabra adelphos no significa hermano sino primo. Así de simple y cómodo. Los pitagóricos y los clásicos, hablando de la inmaculada concepción y de la virginidad del número siete y de Palas Atenea, no tenían necesidad de ayuda de la acrobacia de la hermenéutica para justificarse. En cuanto a nosotros, las fábulas del paganismo no nos parecen tan absurdas como lo pretenden los paladines de la hagiografía.

Nos parece manifiesto que el dogma católico deriva del antiguo simbolismo pitagórico o, al menos, hace referencia a éste, como es cierto que San Clemente y Aristóbulo han bebido en las fuentes pitagóricas. No queremos detenernos a examinar hasta que punto la figura de María lo recuerda más que la de Minerva y la de Isis, como lo demuestra la iconografía. Queremos al contrario mostrar las proezas que llevaron a cabo ciertos autores cristianos en detrimento de la aritmética mística pitagórica. Por ejemplo Louis-Claude de Saint-Martin, un autor cristiano, contemporáneo de la Revolución francesa, llamado "el filósofo desconocido" o "el teósofo de Amboise", da libre curso a su fantasía en sus escritos y sobre todo en su obra póstuma Des Nombres [De los Números] a propósito de un sistema de mística cristiana de los números; y, delirando devotamente, no duda en atribuir a los pitagóricos pretendidos errores para reprochárselos, exaltando su propia fe "bella, inmortal, benéfica, acostumbrada a los triunfos". Saint-Martin afirma por ejemplo17 que "Pitágoras y sus discípulos se han equivocado cuando han dicho que 7 no tenía padre ni madre", y justifica esta sentencia por la buena razón de que "el número 4 es el padre y la madre del hombre quien, en efecto, según el Génesis, fue creado macho y hembra por esta potencia septenaria que contiene 4 y 3". Ahora bien, Pitágoras y sus discípulos no han dicho jamás nada parecido, y el filósofo desconocido hace una bonita mezcla entre lo que dice el Evangelio a propósito de Melquisedec, que no tenía padre ni madre, y el hecho de que 7 era para los pitagóricos un número consagrado a Minerva pues, como Minerva, era virgen y no era engendrado. ¡Y después de esta bonita confusión y este desconocimiento del Evangelio, Saint-Martin no duda en corregir los pretendidos errores de los pitagóricos!

El número cinco o pentalfa es el símbolo de la armonía, y es también el de la fraternidad pitagórica, como la estrella flamígera es el símbolo de la fraternidad masónica cimentada por el brotherly love. Los pitagóricos escribían correspondiendo con los vértices del pentalfa las letras que componen la palabra hygieia (salud), ya que la armonía de todos los elementos y de todas las funciones del cuerpo se manifiesta por la salud, y la armonía de todos los elementos espirituales, por la salud, o salvación, tomada en el sentido escatológico del orfismo o pitagórico de la palingenesia. El número 7 es el símbolo de la sabiduría.

La comparación entre los números sagrados de los pitagóricos y los de la masonería no puede hacerse grado a grado porque la separación del ritual masónico en dos grados distintos, de aprendiz y de compañero, es relativamente reciente, y el grado de maestro, su ritual y su catecismo, no tiene apenas más de dos siglos. Grosso modo se puede decir que: tres es el número del aprendiz o novicio, cinco el de compañero y siete el de maestro, o venerable.

Sin embargo no hay que aceptar, sin discernimiento, las variantes, los añadidos y en particular las explicaciones y los comentarios de los rituales y de los catecismos relativamente modernos, en los cuales se han infiltrado elementos que no son tradicionales, sino que muchas veces, al contrario, son arbitrarios y personales. Por ejemplo, el orientalista Goblet dAlviella, que fue Soberano Gran Comendador del Supremo Consejo del Rito Escocés Antiguo y Aceptado de Bélgica, ha indianizado los rituales de los altos grados; y, como ignoraba totalmente el hermetismo, añadió algunos errores a su interpretación orientalista. Ragon, un escritor del último siglo, conocido antaño como el autor sagrado de la Franc-Masonería, hizo lo mejor que pudo para interpretar los rituales, pero llenó de definiciones y de consideraciones moralistas sus comentarios, hoy superados, los cuales tienen muy poco que ver con el esoterismo masónico. Por el contrario, los libros de Wirth son excelentes, a pesar de su manía por las explicaciones herméticas y de su gusto por la escuela francesa de ocultismo, de Eliphas Levi, de Guaïta, de Papus, en base a la cábala hebrea y al tarot. Lo mejor es atenerse a los antiguos rituales simples, despojados, esqueléticos: los ingleses anteriores a 1730, los franceses anteriores a 1750 y los italianos anteriores a 178018 que no vienen de la franc-masonería francesa.

Las dos palabras logia y masón no son palabras tomadas del inglés ni del francés. Estaban en uso en Italia desde el siglo XIV. Se llamaba logias, a las de los hermanos comacinos [llamados así porque procedían de la región del lago de Como], y en Florencia había muchas, como las de los hermanos Lanzi; la pretendida derivación de logia del griego logos (verbo o palabra) carece de fundamento y no sirve más que para justificar la veneración por el versículo de San Juan: in principio erat Verbum. En arquitectura, logia (loggia) es el término técnico que designa una galería abierta, elevada sobre columnas o pilastras, a menudo construida en la parte superior de los edificios, por ejemplo el "paraíso" del teatro; es pues un término bien escogido para designar el templo masónico, sostenido por doce columnas y que tiene por bóveda el cielo.

En la Logia hay tres luces sublimes: el Sol, la Luna y el Delta luminoso; tres luces: el Venerable y los dos Vigilantes; tres columnas, tres ventanas, tres joyas móviles: la escuadra, el nivel y la plomada; tres joyas inmóviles: la piedra bruta, la piedra cúbica en punta y la plancha de trazar, o plancha de dibujo, o tabla tripartita; tres ornamentos: el pavimento mosaico, la estrella flamígera y el cordel de nudos. Triple es el viaje simbólico del profano para ser admitido a recibir la luz; triple la batería, el beso, el toque en el retejeo; triple el enigma propuesto al profano; y tres son los pasos de aprendiz.

La tarea del aprendiz o novicio es desbastar y escuadrar la piedra bruta; la del franc-masón es llegar a ver y comprender la estrella flamígera. Para descubrirla debe subir cinco escalones; debe además labrar la piedra cúbica y escuadrarla para que sea utilizable en la construcción del templo. Se distingue por su conocimiento de la estrella flamígera, y, como en los rituales posteriores a 1737 la letra G hace su aparición en el pentagrama, se dice que es también su deber conocer la letra G y su significado. Todos los rituales, decimos bien todos, tienen cuidado en recordar que la letra G es la inicial de Geometría, y los rituales escoceses que es la de God; otros rituales y otros catecismos dicen que es la inicial de gnosis, de generación, etc. La única explicación coherente es la primera; y los cinco escalones que el compañero debe subir corresponden al hecho de que la geometría es la quinta de las ciencias pitagóricas, y -en nuestra interpretación- al hecho de que para llegar a la armonía, simbolizada por la estrella flamígera, hay que extender el tetracordio, o tetractys simbolizada por el Delta, a la ley de quinta.

En la Logia y en el cuadro de Logia del compañero, la estrella flamígera reemplaza al Delta, entre el Sol y la Luna; hay cinco luces en vez de tres; el retejo, la batería, la edad y los pasos se basan en cinco y no en tres.

Los escalones que hay que subir para alcanzar el Oriente son siete, y siete es el número de escalones para llegar a la Cámara del Medio. Su número es el de las siete ciencias liberales; el aprendiz debe conocer las tres primeras, las del trivium, ciencias puramente humanas; el compañero debe conocer además la aritmética y la geometría; el Maestro debe, evidentemente, conocer las otras dos, la música y la esférica, es decir la armonía de las siete notas y la armonía de las esferas.

Siete son, en fin, los nudos del cordel que rodea las columnas del templo. 
Traducción: M. Angel Aguirre
 
Notas 
* Cap. IV de Les Nombres dans la Tradition Pythagoricienne Maçonnique (Los Números en la Tradición Pitagórico Masónica).
1 A. Reghini, Per la restituzione della geom. pit.
2 El pentágono regular, como el decágono y el pentalfa, pueden construirse sin compás, partiendo de una banda de lados paralelos. Basta con anudarla, como se hace el nudo de una corbata; se ve entonces que está plegada según tres segmentos iguales AB, CD y EA, y los dos segmentos DE Y CB resultan también iguales a los otros tres (Figura 3). La banda continúa más allá de los lados DE y CB del pentágono, y se tiene la figura de la mitra de un obispo (la del alfil -bishop en inglés- del juego de ajedrez), o la del mandil del aprendiz. El cordel de nudos, o cadena de unión, que está colocado alrededor de las columnas del templo, en número de diez sin contar las dos columnas de la entrada del templo, forma diez nudos pentagonales, como los diez pentágonos regulares circunscritos a un pentágono regular. 
 

Figura 3
3 Cf. L. Robin, La pensée grecque, pág. 74. 
4 Cf. M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2ª Edición, I, pág. 178. 
5 L. Robin, La pensée grecque, pág. 273. 
6 Alcinoo, De doctrina Platonis, París 1567, cap. II; ver también H. Martin, Etudes sur le Timée de Platon, París 1841, pág. 246. 
7 Plutarco, Cuestiones platónicas, V, 1. 
7 bis (Ver La Tetraktys Pitagórica y el Delta Masónico). 
8 Las figuras cósmicas o poliedros regulares llevan también al número cinco. 
9 Delatte, Études, págs. 134, 133, 113. Cf. Platón, República, X, 617  b. 
10 Jámblico, Vida de Pitágoras, 86; Cicerón, Rep., V., 2; Favorinus, In somnium Scipionis; Plutarco, Quaestiones Conv., 9, 14, 6, 2. 
11 Platón, República, X, 617, y Delatte, Études, pág.260. 
12 Cf. Delatte, Études, pág. 65. 
13 Delatte, Études, pág. 264. 
14 Aristóteles, Metafísica, I. 
15  Proclo, citado por Loria, Le scienze esatte..., pág. 189. 
16 Delatte, Études, pág. 231 y ss. 
17 L.-C. de Saint-Martin, Des Nombres, París 1861, pág. 48; nueva edición por N. Chaquin, París 1946 y 1975 en pág. 43. 
18 Pericle Maruzzi, Opere per una biblioteca massonica, Roma 1921.